[ Compressed Sensing ] few pixels로부터 이미지 복구 (L1 norm)

 

< Data Compression >

데이터들을 다룰때 computational 이유로 인해 크기를 축소 후 사용하는 경우가 흔하다. 

Natural Signals 들이 대체로 compressiable하다. 대표적으로 이미지 데이터/오디오 (signal) 데이터가 있다. 이때 compression은 sparsity 에 의해 결정되고 Fourier 혹은 Wavelet 기반(변환)으로 축소가 가능하다.

*Fourier Transform을 이용해서 Compression 예시 : JPEG, MP3

 

축소 된 데이터들은 sparsed vector (s) 로 간단히 표현될수 있고 이미 축소 된 데이터들을 inverse transform을 이용하여 원상복구 (가깝게) 복구 시킬 수 있다 [1].

Fourier Transformed 에서 5%만으로도 이미지를 복구 시킬수 있다.

 

< Compressed Sensing >

애초에 compressed measurements 로 시작해서 된 데이터를 우리가 원하는 origin 데이터로 변환시키는 것을 'Compressed Sensing"이라 한다. 우리가 원하는 Origin 값 y 는 우리의 측정값 x와 measurement matrix C 를 이용해서 복구 할 수 있다.  

                                                                                y = Cx = CΨs

x 값은 s (sparse vector) 을 이용해서 reconstruct될 수 있다. 여기서 sparset vector (y 값은 일정) 을 구하는 것이 Compressed Sensing 의 목표이다. [2]에 따르면 특정 C measurement matrix C를 이용하면 optimization problem을 convex L1-minimization 을 이용하여 convex function으로 solve 할 수 있고 해당 식은 아래와 같이 표기할 수 있다. 

                                                                 ŝ = argmin ||s||₁      subject to y = CΨs

 

< Compressed Sensing for MRI >

MRI 를 찍고 결과를 받기까지 오랜 시간이 걸린다. 이는 데이터가 k-space 로 얻어지고 이는 image space 보다 크기 때문이다. 여기서 k-space 는 MR image 를 2D or 3D Fourier 변환 시킨 것이다. Compressed Sensing가 활용되는 분야 중 하나는 MRI 이다. MRI 데이터를 이미지로 얻는 과정은 시간이 많이 소요되기 때문에 magnetic resonance 를 데이터로 받아서 빠르게 이미지를 얻어내기 위해 사용되는 컨셉이다.

 

 

 

 

 

 

References 

[1] S. L. Brunton and N. J. Kutz, Data-Driven Science & Engineering. 2017.

[2] E. J. Cande`s, J. Romberg, and T. Tao. Stable signal recovery from incomplete and in-accurate measurements. Communications in Pure and Applied Mathematics, 8(1207–1223), 59.